1.3.4 脉冲编码调制

模拟数据通过数字信道传输，通常需要先转换为数字信号。将声音、图像等模拟数据转换为数字信号的过程称为：

数字化（Digitization）

常用的模拟信号数字化技术是：

PCM（Pulse Code Modulation，脉冲编码调制）

PCM的核心处理过程包括三个步骤：

1. 采样（Sampling）：在时间轴上对连续模拟信号取值；
2. 量化（Quantization）：将连续的样本幅度近似为有限个离散等级；
3. 编码（Encoding）：将量化结果转换成二进制代码。

连续模拟信号
      │
      ▼
   采样 Sampling
      │
      ▼
离散时间、连续幅度的样本
      │
      ▼
   量化 Quantization
      │
      ▼
离散时间、离散幅度的样本
      │
      ▼
   编码 Encoding
      │
      ▼
PCM二进制数字信号

<WRAP info> 一句话理解PCM：按固定时间间隔测量模拟信号，将测得的幅度近似到某个量化等级，再把该等级写成二进制数。 </WRAP>

完成模拟信号与数字信号相互转换的设备称为：

Codec（Coder-Decoder，编码解码器）

Codec由两个基本功能组成：

• Coder（编码器）：将模拟信号转换为数字信号；
• Decoder（解码器）：将数字信号还原为模拟信号。

其工作过程如下：

发送端                                              接收端
模拟数据 → 编码器 → PCM数字信号 → 数字信道 → 解码器 → 模拟数据
          Coder                                 Decoder

Codec与Modem的作用不同：

<WRAP warning> 易混淆点：Codec负责“模拟数据数字化”；Modem负责“数字数据调制到模拟载波”。二者的转换对象不同。 </WRAP>

采样（Sampling）是按照固定时间间隔读取模拟信号的瞬时值。

模拟信号在时间和幅度上都是连续的。采样后得到一系列离散时间点上的样本，但每个样本的幅度仍然可以是连续值。

连续模拟信号：随时间连续变化
                    │
             每隔T秒取一个值
                    ▼
样本序列：x(0)、x(T)、x(2T)、x(3T)……

其中：

• \(T\)：采样周期，即相邻两次采样之间的时间；
• \(f_s\)：采样频率，即每秒采样的次数。

两者关系为：

f_s = 1/T

根据：

Nyquist Sampling Theorem（奈奎斯特采样定理）

为了根据采样值恢复原模拟信号，采样频率至少应达到模拟信号最高频率的2倍：

f_s ≥ 2f_max

工程设计中通常表示为：

f_s > 2f_max

其中：

• \(f_s\)：采样频率；
• \(T\)：采样周期；
• \(f_{max}\)：模拟信号中包含的最高频率。

结合 \(f_s=1/T\)，可以写成：

1/T ≥ 2f_max

因此，最大采样周期应满足：

T ≤ 1/(2f_max)

临界采样频率：

f_N = 2f_max

称为：

Nyquist Rate（奈奎斯特速率）

<WRAP important> 教材公式写作 \(f=1/T>2f_{max}\)，强调实际取样频率应高于最高频率的2倍。理论临界条件通常写作 \(f_s≥2f_{max}\)。 </WRAP>

一个完整的正弦波周期中至少需要两个采样点，才能反映其基本变化规律。如果采样频率不足，原信号中的高频成分可能被错误识别为较低频率。

这种现象称为：

Aliasing（混叠）

防止混叠的方法包括：

• 使采样频率满足奈奎斯特采样定理；
• 采样前使用低通滤波器限制输入信号带宽。

采样前使用的滤波器称为：

Anti-Aliasing Filter（抗混叠滤波器）

某模拟信号的最高频率为4 kHz，求理论最低采样频率。

f_s ≥ 2f_max
    ≥ 2 × 4 kHz
    ≥ 8 kHz

因此，最低采样频率为：

8 kHz = 8000次/秒

对应的最大采样周期为：

T = 1/f_s
  = 1/8000 s
  = 0.000125 s
  = 125 μs

其中：

• kHz（kilohertz，千赫兹）：每秒1000个周期；
• μs（microsecond，微秒）：百万分之一秒。

采样后获得的样本幅度仍然是连续值，不能直接用有限长度的二进制数精确表示。

量化（Quantization）是把每个样本的连续幅度近似为有限个离散等级的过程。

例如，将幅度划分为16个量化等级：

0.1、0.2、0.3……1.6

若实际样本值为：

1.09

可以量化为：

1.1

若实际样本值为：

1.55

可以量化为：

1.6

若量化等级数为 \(L\)，每个样本使用 \(n\) 位二进制数表示，则：

L = 2ⁿ

反过来：

n = log₂L

常见关系如下：

教材示例将信号划分为16个量化等级，因此每个样本需要：

n = log₂16 = 4 bit

可使用：

0000～1111

分别表示16个幅度等级。

量化后的离散值通常不可能与原始样本值完全相等，两者之间的差称为：

Quantization Error（量化误差）

量化误差 = 原始样本值 - 量化后的近似值

由量化过程产生的失真通常称为：

Quantization Noise（量化噪声）

例如：

原始样本值：1.09
量化值：    1.10
量化误差：  1.09 - 1.10 = -0.01
```

量化等级与量化质量的关系如下：

^ 比较项目 ^ 量化等级少 ^ 量化等级多 ^
| 每个样本编码位数 | 少 | 多 |
| 量化间隔 | 大 | 小 |
| 量化误差 | 大 | 小 |
| 信号还原精度 | 低 | 高 |
| 数据传输速率 | 低 | 高 |
| 存储空间需求 | 小 | 大 |
| 设备处理要求 | 较低 | 较高 |

<WRAP tip>
**核心权衡：**量化等级越多，信号还原越精确，但每个样本需要的编码位数越多，产生的数据量也越大。
</WRAP>

==== 4.4 均匀量化与非均匀量化 ====

如果整个信号幅度范围采用相同的量化间隔，称为：

**Uniform Quantization（均匀量化）**

其特点是：

  * 实现简单；
  * 每个量化区间宽度相同；
  * 对大信号和小信号采用相同的量化精度；
  * 小信号的相对量化误差可能比较明显。

如果对不同幅度范围采用不同的量化间隔，称为：

**Non-uniform Quantization（非均匀量化）**

其一般做法是：

  * 小幅度信号使用较小的量化间隔；
  * 大幅度信号使用较大的量化间隔；
  * 改善小信号的量化效果。

===== 5. PCM第三步：编码 =====

==== 5.1 编码的概念 ====

**编码（Encoding）**是把量化后的幅度等级转换为对应二进制代码的过程。

例如，使用4位二进制代码表示16个量化等级：

^ 量化等级 ^ 二进制代码 ^
| 第0级 | 0000 |
| 第1级 | 0001 |
| 第2级 | 0010 |
| 第3级 | 0011 |
| …… | …… |
| 第14级 | 1110 |
| 第15级 | 1111 |

如果连续采样得到的量化等级为：

<code>
3、8、5、15

对应的4位PCM编码为：

0011 1000 0101 1111

编码后的二进制数据可以通过数字信道传输。

以某个样本值为例：

实际样本值：1.09
      │
      ▼
量化为：1.1
      │
      ▼
对应量化等级：第10级（仅作示例）
      │
      ▼
编码为：1010
```

完整过程为：

<code>
模拟信号 → 采样值 → 量化值 → 量化等级 → 二进制代码
```

===== 6. PCM数据速率 =====

==== 6.1 基本计算公式 ====

PCM数据速率取决于：

  * 每秒采样次数；
  * 每个样本的编码位数；
  * 信号的通道数。

单通道PCM数据速率为：

<code>
R = f_s × n

多通道PCM数据速率为：

R = f_s × n × C

其中：

• \(R\)：PCM数据速率，单位为b/s；
• \(f_s\)：采样频率，单位为Hz；
• \(n\)：每个样本的编码位数；
• \(C\)：通道数量。

若已知量化等级数 \(L\)，则：

<code> n = log₂L ```

因此：

<code> R = f_s × log₂L × C ```

已知：

• 语音信号最高频率：4 kHz；
• 采样频率：8 kHz；
• 量化等级：128级；
• 每个样本的编码位数：\(log₂128=7\) bit。

数据速率为：

<code> R = 8000 × 7

= 56000 b/s
= 56 kb/s

```

因此，按照教材参数，该数字语音信号的数据速率为：

<code> 56 kb/s ```

<WRAP info> 本例严格采用教材给出的128级量化和7位编码。工程中常见的电话PCM通常采用8 kHz采样、每个样本8 bit，对应64 kb/s。 </WRAP>

某模拟信号的最高频率为5 kHz，采用奈奎斯特最低采样频率，并划分为16个量化等级，求PCM数据速率。

采样频率：

<code> f_s = 2 × 5 kHz

  = 10 kHz

```

每个样本编码位数：

<code> n = log₂16

= 4 bit

```

数据速率：

<code> R = 10000 × 4

= 40000 b/s
= 40 kb/s

```

某语音信号最高频率为4 kHz，采用256级量化，求最低PCM数据速率。

采样频率：

<code> f_s = 2 × 4 kHz

  = 8 kHz

```

编码位数：

<code> n = log₂256

= 8 bit

```

数据速率：

<code> R = 8000 × 8

= 64000 b/s
= 64 kb/s

```

某双声道音频信号采用44.1 kHz采样频率，每个样本16 bit，求未经压缩的数据速率。

已知：

• \(f_s=44100\) Hz；
• \(n=16\) bit；
• \(C=2\)。

计算：

<code> R = 44100 × 16 × 2

= 1411200 b/s
= 1.4112 Mb/s

```

PCM系统需要在恢复质量、传输速率和实现成本之间进行权衡。

提高采样频率：

• 每秒产生的样本数增加；
• 能够表示更高频率的信号；
• 时间轴上的还原精度提高；
• 数据传输速率和存储需求增加。

增加量化等级：

• 每个样本的编码位数增加；
• 幅度近似更加精确；
• 量化误差减小；
• 数据传输速率和存储需求增加。

模拟信号的最高频率越高：

• 要求的最低采样频率越高；
• 每秒产生的样本越多；
• PCM数据速率越高。

其关系可以概括为：

<code> 信号最高频率提高

      ↓

最低采样频率提高

      ↓

每秒样本数量增加

      ↓

PCM数据速率提高 ```

以及：

<code> 量化等级增加

      ↓

每个样本编码位数增加

      ↓

量化精度提高

      ↓

PCM数据速率提高 ```

教材指出，普通语音信号的最高频率可按4 kHz考虑，因此采样频率可取8 kHz。

视频信号带宽可达到6 MHz。如果按奈奎斯特采样定理计算，最低采样频率为：

<code> f_s ≥ 2 × 6 MHz

  ≥ 12 MHz

```

如果视频信号同时采用较多的量化等级，则会产生很高的数字传输速率。

<code> 模拟信号

 │
 ▼

抗混叠滤波 Anti-Aliasing Filter

 │
 ▼

采样 Sampling

 │
 ▼

量化 Quantization

 │
 ▼

编码 Encoding

 │
 ▼

PCM数字比特流

 │
 ▼

数字信道传输 ```

<code> 接收PCM数字比特流

 │
 ▼

译码 Decoding

 │
 ▼

还原量化样本

 │
 ▼

数模转换 Digital-to-Analog Conversion

 │
 ▼

重建滤波 Reconstruction Filter

 │
 ▼

近似恢复原模拟信号 ```

• 适合通过数字通信网络传输；
• 抗干扰能力较强；
• 中继过程中可以重新生成数字信号；
• 易于进行差错检测和差错控制；
• 便于进行加密、压缩、存储和计算机处理；
• 可以与其他数字业务统一传输；
• 传输过程中的失真通常小于纯模拟传输。

• 需要完成采样、量化和编码，设备处理流程较复杂；
• 量化过程会产生不可完全避免的量化误差；
• 采样频率或量化位数增加会显著提高数据量；
• 未压缩PCM通常需要较高的传输带宽；
• 高质量音频和视频会产生大量数字数据。

<code> 第一步：f_s = 2f_max 第二步：n = log₂L 第三步：R = f_s × n ```

<code> R = f_s × n ```

如果是多通道：

<code> R = f_s × n × C ```

每个样本的编码位数为：

<code> n = R/f_s ```

量化等级数为：

<code> L = 2ⁿ ```

<code> L = 2ⁿ ```

例如，每个样本使用12位编码：

<code> L = 2¹² = 4096级 ```

<WRAP important> 必须掌握

1. PCM是Pulse Code Modulation的缩写，中文名称是脉冲编码调制。
2. PCM的三个基本步骤是采样、量化和编码。
3. 采样解决时间离散化问题。
4. 量化解决幅度离散化问题。
5. 编码负责将量化等级转换为二进制代码。
6. 奈奎斯特采样条件为 \(f_s≥2f_{max}\)。
7. \(n\)位二进制代码能够表示 \(2^n\) 个量化等级。
8. \(L\)个量化等级至少需要 \(log₂L\) 位编码。
9. 单通道PCM数据速率为 \(R=f_s×n\)。
10. 多通道PCM数据速率为 \(R=f_s×n×C\)。
11. 采样频率越高，时间还原精度越高，但数据量越大。
12. 量化等级越多，幅度还原精度越高，但数据量越大。

</WRAP>

<WRAP warning>

• 奈奎斯特采样频率是信号“最高频率”的至少2倍，不一定是带宽数值的2倍，需根据题目给出的频谱范围判断。
• 采样频率的单位是Hz或samples/s，不是b/s。
• 数据传输速率的单位是b/s，不能直接写成Baud。
• 量化等级数不是编码位数：256级量化需要8 bit，而不是256 bit。
• 采样只使时间离散化，样本幅度在量化前仍然是连续值。
• 量化使幅度离散化，并会产生量化误差。
• 编码不会消除量化误差，只是把量化等级表示为二进制数。
• 计算多声道PCM速率时不能遗漏通道数量。
• 教材语音示例采用128级量化和7 bit编码，结果为56 kb/s；常见电话PCM采用8 bit编码，结果为64 kb/s。
• kHz、MHz与Hz换算后才能代入统一公式。

</WRAP>

<code> 模拟信号数字化 │ └─ PCM（脉冲编码调制）

 │
 ├─ 采样 Sampling
 │  ├─ 时间离散化
 │  ├─ f_s = 1/T
 │  └─ f_s ≥ 2f_max
 │
 ├─ 量化 Quantization
 │  ├─ 幅度离散化
 │  ├─ L = 2ⁿ
 │  ├─ n = log₂L
 │  └─ 产生量化误差
 │
 └─ 编码 Encoding
    ├─ 量化等级转二进制代码
    ├─ 单通道：R = f_s × n
    └─ 多通道：R = f_s × n × C

```

• 1.3.1 数据通信的基本概念
• 1.3.2 数据编码
• 1.3.3 数字调制技术
• 1.3.5 通信方式和交换方式
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