奈奎斯特定理通常指“奈奎斯特采样定理”。它回答了一个核心问题：
连续的模拟信号，至少要用多快的速度采样，才能从采样结果中完整恢复原信号？
假设一个连续信号中包含的最高频率为 f_max，为了在理论上无失真地恢复该信号，采样频率 f_s 必须满足：
f_s > 2 × f_max
其中：
f_s：采样频率，即每秒采集多少个样本，单位为 Hzf_max：原信号中包含的最高频率2 × f_max：奈奎斯特率（Nyquist Rate）f_s / 2：奈奎斯特频率（Nyquist Frequency）注意，奈奎斯特率和奈奎斯特频率是两个容易混淆的概念。
| 概念 | 含义 |
|---|---|
奈奎斯特率 2 × f_max | 为采集某个信号所需要的最低理论采样率 |
奈奎斯特频率 f_s / 2 | 在给定采样率下，理论上能够表示的最高频率 |
例如，一个信号的最高频率为 10 kHz，则需要满足：
f_s > 2 × 10 kHz f_s > 20 kHz
因此，理论上采样频率应该高于 20 kHz。
考虑一个频率为 f 的正弦信号：
x(t) = A × sin(2πft + φ)
其中：
A 是信号振幅f 是信号频率φ 是初始相位t 是时间一个周期内至少需要两个采样点，才能描述信号最基本的周期变化。
如果每个周期少于两个采样点，采样系统就可能把原来的高频信号误认为另一个低频信号。
但是，“每周期两个采样点”只是一个理论极限，并不代表实际系统中两个采样点一定足够。
例如，考虑信号：
x(t) = sin(2πft)
如果恰好使用下面的采样频率：
f_s = 2f
并且采样点恰好全部落在正弦波的过零点上，那么得到的样本可能全部为零：
x[n] = sin(πn) = 0
采样系统就会误以为原信号始终为零。
因此，奈奎斯特采样条件通常严格写成：
f_s > 2 × f_max
而不是：
f_s = 2 × f_max
当采样频率不满足奈奎斯特条件时，就会发生“混叠”（Aliasing）。
混叠的含义是：
高频信号经过采样后，伪装成了另一个低频信号。
仅仅根据混叠后的采样结果，通常无法判断原信号的真实频率。
混叠频率可以表示为：
f_alias = |f - k × f_s|
其中：
f 是原信号频率f_s 是采样频率k 是某个整数f_alias 是采样后观察到的混叠频率
选择合适的整数 k，使混叠频率落在以下范围内：
0 ≤ f_alias ≤ f_s / 2
假设使用 8 kHz 的采样频率，采集一个 6 kHz 的正弦波：
f_s = 8 kHz f = 6 kHz
该采样系统的奈奎斯特频率为：
f_s / 2 = 8 / 2 = 4 kHz
原信号的频率为 6 kHz，超过了奈奎斯特频率 4 kHz，因此会发生混叠。
选择 k = 1：
f_alias = |6 - 1 × 8|
= |-2|
= 2 kHz
因此，一个 6 kHz 的信号经过 8 kHz 采样后，可能被观察为一个 2 kHz 的信号。
也就是说：
原信号：6 kHz 采样频率：8 kHz 观察结果：2 kHz
6 kHz 和 2 kHz 的信号可以在采样时刻产生完全相同的样本。因此，采样结束后，系统通常无法判断原信号究竟是哪一个。
采样可以看成原信号与一串周期性采样脉冲相乘。
采样以后，原信号的频谱会以采样频率 f_s 为间隔周期性重复。
可以用下面的形式表示：
X_s(f) = (1 / T_s) × Σ X(f - k × f_s)
其中：
T_s = 1 / f_s
各符号的含义如下：
X(f)：原信号的频谱X_s(f)：采样后信号的频谱T_s：采样周期f_s：采样频率k：任意整数假设原信号只包含以下频率范围内的成分：
-f_max ≤ f ≤ f_max
那么，每份频谱占据的总宽度为：
2 × f_max
为了使相邻的频谱副本不发生重叠，采样频率必须满足：
f_s > 2 × f_max
整个过程可以概括为：
原信号 ↓ 以 f_s 进行采样 ↓ 原频谱每隔 f_s 重复一次 ↓ 判断 f_s 是否大于 2 × f_max ├─ 是：频谱副本不重叠，理论上可以恢复原信号 └─ 否：频谱副本发生重叠，产生混叠
一旦频谱副本发生重叠，不同频率成分就会混合在一起。这就是从频域角度理解的混叠。
当原信号严格带限，并且采样频率满足奈奎斯特条件时，可以使用理想低通滤波器，从采样后重复出现的频谱中提取出原始频谱。
在时域中，这个过程对应“sinc 插值”。
理论上的重建公式为：
x(t) = Σ x[n] × sinc((t - nT_s) / T_s)
其中：
x[n] = x(nT_s)
x[n] 表示第 n 个采样值。
每一个采样点都对应一个 sinc 函数。将所有采样点对应的 sinc 函数叠加起来，就可以在理论上精确恢复原来的连续信号。
不过，这种精确恢复依赖理想条件：
现实系统无法完全满足这些条件，原因包括：
因此，现实系统只能近似恢复原信号。
现实中的信号通常会包含目标频带以外的高频成分，例如：
即使目标信号的最高频率只有 10 kHz，输入信号中也可能存在 30 kHz 或更高频率的成分。
如果直接采样，这些高频成分就可能混叠到正常的目标频带内。
因此，在模数转换器 ADC 之前，通常需要设置一个低通滤波器：
模拟信号 ↓ 抗混叠低通滤波器 ↓ ADC 模数转换器 ↓ 数字信号
这个低通滤波器称为“抗混叠滤波器”（Anti-aliasing Filter）。
它的主要作用是：
需要特别注意：
混叠一旦发生，通常无法通过后续的数字滤波消除。
这是因为混叠后的高频信号已经落入正常频带，系统无法判断它究竟是真实的低频信号，还是由高频信号混叠产生的假象。
假设需要采集最高频率为 20 kHz 的音频信号。
理论上的最低采样频率为：
2 × 20 kHz = 40 kHz
但是，实际音频系统通常使用：
而不是恰好使用 40 kHz。
这是因为现实中的滤波器无法做到在某个频率处立即完全截止。实际滤波器需要一段“过渡带”。
以 48 kHz 采样为例：
奈奎斯特频率 = 48 / 2 = 24 kHz
如果需要保留的音频最高频率约为 20 kHz，那么：
目标通带：0 ～ 20 kHz 过渡区域：20 ～ 24 kHz 阻带范围：24 kHz 以上
从 20 kHz 到 24 kHz 的范围可以留给抗混叠滤波器作为过渡带。
实际选择采样率时，需要综合考虑：
因此，在某些系统中，采样率会选择为最高信号频率的 4 倍、10 倍，甚至更高。这种方法称为“过采样”。
更准确的说法是：
采样率越高，能够在不发生混叠的情况下表示的频率范围越宽。
但整个系统实际能够处理的最高频率，还受到以下因素限制：
因此，仅仅提高采样率，并不能让一个低带宽传感器测量到更高频率的信号。
不能简单地这样认为。
精确恢复还要求：
现实系统只能近似满足这些条件，所以工程设计中通常会为采样率预留一定的裕量。
不可以。
采样率和量化位数解决的是不同问题。
| 参数 | 主要作用 | 参数不足造成的问题 |
|---|---|---|
| 采样率 | 决定时间轴上的采样密度 | 频率混叠 |
| 量化位数 | 决定每个样本的幅值精度 | 量化误差和量化噪声 |
例如：
增加量化位数不能修复已经发生的混叠。
奈奎斯特定理说明，在满足相关条件时，略高于两倍的采样率可以用于恢复信号。
但如果只是把离散采样点用直线连接起来，得到的图形不一定看起来像正弦波。
理论上的精确恢复依赖：
所以“可以恢复”和“直接看起来像原波形”不是同一个概念。
通信领域还有另一个经常被称为“奈奎斯特定理”的公式：
R_max = 2B × log2(M)
其中：
R_max：理想无噪声信道的最大数据传输速率B：信道带宽M：每个码元可以采用的离散状态数量log2(M)：每个码元能够携带的比特数如果使用二进制信号：
M = 2 log2(2) = 1
因此：
R_max = 2B
这个公式讨论的是：
在理想无噪声、带宽受限的信道中，数据最多能够传输多快。
它与采样定理密切相关，但讨论的并不是同一个问题。
两者的区别如下：
| 定理或公式 | 研究的问题 |
|---|---|
| 奈奎斯特采样定理 | 连续信号至少需要多高的采样率才能被恢复 |
| 奈奎斯特无码间串扰公式 | 理想带限信道最多能够传输多少码元或数据 |
| 香农公式 | 存在噪声时，信道的理论最大传输能力 |
香农公式为：
C = B × log2(1 + SNR)
其中：
C：信道容量B：信道带宽SNR：信噪比奈奎斯特公式主要考虑带宽限制，而香农公式进一步考虑噪声和信噪比的影响。
奈奎斯特采样定理可以概括为：
对于最高频率为f_max的带限连续信号，采样频率f_s必须严格高于2 × f_max。只有这样，采样后产生的频谱副本才不会互相重叠，原信号才有可能从离散样本中唯一恢复。
核心公式是：
f_s > 2 × f_max
需要记住以下几点：
2 × f_max 称为奈奎斯特率。f_s / 2 称为奈奎斯特频率。